条件付き確率とベイズの定理による検査の陽性適中率の算出
問題文
ある感染症の有病率が人口の 1.0%（0.01）である集団においてスクリーニング検査を実施します。この検査は、実際に感染している人が正しく陽性と判定される確率（感度）が 90.0%（0.90）、感染していない人が正しく陰性と判定される確率（特異度）が 95.0%（0.95）です。受診者はこの集団から無作為に選ばれ、感度・特異度はこの集団に適用できるとします。ある受診者が検査を受けたところ「陽性」と判定されました。この受診者が実際に感染している確率（陽性適中率）を求めなさい（百分率で表し、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めよ）。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 有病率 P(D) | 0.01 (1.0%) |
| 非感染率 P(D^c) | 0.99 (99.0%) |
| 感度 P(T^+ | D) | 0.90 (90.0%) |
| 特異度 P(T^- | D^c) | 0.95 (95.0%) |
| 偽陽性率 P(T^+ | D^c) | 0.05 (5.0%) |
解答・途中計算
陽性となる全確率 P(T^+) の計算
「実際に感染していて陽性になる確率」と「感染していないのに偽陽性になる確率」の和を全確率の公式で求めます。
ベイズの定理による陽性適中率 P(D | T^+) の算出
与えられた感度 P(T^+|D) から、条件を逆にした P(D|T^+) を求めるためベイズの定理を使います。陽性者全体（5.85%）の中で、真の感染者（0.90%）が占める割合です。下の人数表では90/(90+495)としても求められます。
| 感染状態 | 陽性 | 陰性 | 合計 |
|---|---|---|---|
| 感染あり | 90人 | 10人 | 100人 |
| 感染なし | 495人 | 9,405人 | 9,900人 |
| 合計 | 585人 | 9,415人 | 10,000人 |
最終結論
陽性判定を受けた受診者が実際に感染している確率は 2/13 ≒ 15.4% である。有病率が低い集団では非感染者が多いため、偽陽性者495人が真陽性者90人を上回る。感度90%と陽性適中率は条件の向きが異なる。これは架空の条件に基づく計算例である。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：90.0%
理由・解説：検査の感度（有病者が陽性になる確率）を、陽性者が感染している確率と同一視する誤り（基準率の無視）。
典型的な誤り：95.0%
理由・解説：特異度（非感染者が正しく陰性になる確率）と混同する誤り。
参照資料
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本サイトの例題はすべて架空のデータを元に独自に作成されたものです。出題意図や難易度調整の基準については問題作成方針をご確認ください。
問題作成方針を見る制作・検証情報
- 執筆・構成
- kuma / bearworks.uk（問題設計）
- 検算・内容確認
- Gemini（原稿の独立計算・教育内容レビュー）、Codex（修正・独立検算・実装確認）、Luna（品質監査）
- 最終公開確認
- kuma / bearworks.uk（2026-09-04に公開内容を承認）
AIを使用した工程
第1バッチ（問6〜10）は2026-09-04に原稿とGeminiによる独立検算・教育内容レビュー結果を受領しました。Codexが誤答説明、前提条件、結論の解釈を修正し、Pythonで独立検算しました。Lunaが内容とリンクを監査しました。修正後の原稿をGeminiが再レビューしたという意味ではありません。
人が確認した工程
運営者が問題設計と実装方針を確認し、検算・品質点検・Linuxでの配信検証の結果を踏まえて、2026-09-04に公開内容を承認しました。専門家による第三者査読ではありません。
更新・訂正履歴
- 初版第1バッチ5問の原稿とGeminiレビューをもとに、Codexが修正・独立検算・実装を実施し、運営者が公開内容を承認しました。
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