母分散未知における母平均の95%信頼区間の算出
問題文
ある製品の重量を測定するため、無作為に25個のサンプルを抽出したところ、標本平均が72g、標本の標準偏差（不偏標準偏差）が10gでした。この製品の母平均に対する95%信頼区間を求めなさい。ただし、製品の重量は正規分布に従うものとし、自由度24のt分布における上側2.5%点（両側5%点）は t(24) = 2.064 とします。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 標本サイズ (n) | 25 |
| 標本平均 (x̄) | 72 g |
| 標本標準偏差 (s) | 10 g |
| t分布の臨界値 (t(24)) | 2.064 |
解答・途中計算
標準誤差 (SE) の計算
母分散が未知であるため、不偏標準偏差 s を用いて標準誤差を計算します。
誤差の許容限界 (Margin of Error) の計算
信頼係数 95% に対応するt分布の臨界値と標準誤差の積を求めます。
信頼区間の上下限の算出
標本平均から誤差を引いた値が下限、足した値が上限となります。約67.9g〜76.1gの範囲となります。
最終結論
95%信頼区間は 67.872 g 〜 76.128 g （小数点第2位を四捨五入して 約67.9 g 〜 76.1 g）である。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：68.08 g 〜 75.92 g
理由・解説：母分散既知と誤認して正規分布の臨界値 1.96 を使用した場合の計算値（72 ± 1.96 * 2 = 72 ± 3.92）。小標本かつ母分散未知ではt分布を用いる必要があります。
典型的な誤り：母平均がこの信頼区間に入る確率は95%であるという解釈
理由・解説：頻度論における信頼区間の誤解です。母平均は定数であり、得られた特定の区間に入るか入らないかは 1 または 0 です。正しい解釈は「同じ手続き（サンプリングと区間算出）を多数回繰り返したとき、全体の95%の区間が真の母平均を被覆する」ということです。
参照資料
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