変量の線形変換に伴う平均値・分散・標準偏差の算出
問題文
ある観測地点の1週間の日最高気温（摂氏 ℃）のデータ x について、平均値が 20.0℃、分散が 16.0 ℃²（標準偏差 4.0℃）でした。この気温データを華氏（℉）に変換した変量 y を考えます。摂氏 x と華氏 y の関係式が y = 1.8x + 32 で与えられるとき、華氏における最高気温 y の平均値 E(y)、分散 V(y)、および標準偏差 SD(y) を求めなさい。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 摂氏の平均値 E(x) | 20.0 ℃ |
| 摂氏の分散 V(x) | 16.0 ℃² |
| 摂氏の標準偏差 SD(x) | 4.0 ℃ |
| 変換式 | y = 1.8x + 32 |
解答・途中計算
華氏の平均値 E(y) の計算
同じ7日間のデータを共通の一次式で換算するため、E(ax + b) = aE(x) + b を用います。ここでEは観測データの平均を表します。この関係に正規性や日ごとの独立性は不要で、分散も変換前後で同じ定義を用います。
華氏の分散 V(y) の計算
分散の性質 V(ax + b) = a^2 * V(x) を適用します。定数の加算（+32）はデータの散布度に影響しないため無視されます。
華氏の標準偏差 SD(y) の計算
標準偏差の性質 SD(ax + b) = |a| * SD(x) を適用します。
最終結論
華氏における平均値は 68.0 ℉、分散は 51.84 ℉²、標準偏差は 7.2 ℉ である。平均は換算式に従って移動し、ばらつきは標準偏差で1.8倍になる。+32はばらつきを変えない。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：分散 V(y) = 83.84
理由・解説：分散の計算にも定数 +32 を足してしまう誤り（3.24 * 16 + 32 = 83.84）。定数シフトは散布度を変えません。
典型的な誤り：分散 V(y) = 28.8
理由・解説：分散の拡大率を a^2 ではなく a 倍にしてしまう誤り（1.8 * 16 = 28.8）。分散は二乗の次元を持ちます。
参照資料
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本サイトの例題はすべて架空のデータを元に独自に作成されたものです。出題意図や難易度調整の基準については問題作成方針をご確認ください。
問題作成方針を見る制作・検証情報
- 執筆・構成
- kuma / bearworks.uk（問題設計）
- 検算・内容確認
- Gemini（原稿の独立計算・教育内容レビュー）、Codex（修正・独立検算・実装確認）、Luna（品質監査）
- 最終公開確認
- kuma / bearworks.uk（2026-09-04に公開内容を承認）
AIを使用した工程
第1バッチ（問6〜10）は2026-09-04に原稿とGeminiによる独立検算・教育内容レビュー結果を受領しました。Codexが誤答説明、前提条件、結論の解釈を修正し、Pythonで独立検算しました。Lunaが内容とリンクを監査しました。修正後の原稿をGeminiが再レビューしたという意味ではありません。
人が確認した工程
運営者が問題設計と実装方針を確認し、検算・品質点検・Linuxでの配信検証の結果を踏まえて、2026-09-04に公開内容を承認しました。専門家による第三者査読ではありません。
更新・訂正履歴
- 初版第1バッチ5問の原稿とGeminiレビューをもとに、Codexが修正・独立検算・実装を実施し、運営者が公開内容を承認しました。
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