大標本における母比率の95%信頼区間の算出
問題文
ある新製品のユーザー満足度を調査するため、購入者から無作為に 400名を抽出してアンケートを実施したところ、256名が「満足している」と回答しました。この製品の母集団における満足率（母比率 p）に対する 95%信頼区間を求めなさい。ただし、標本サイズは十分に大きく正規近似が適用できるものとし、標準正規分布の上側2.5%点（両側5%臨界値）は z = 1.96 とします。 400名全員が回答し、抽出率は十分小さく各回答を独立なベルヌーイ試行として近似でき、有限母集団補正を無視できるものとします。通常のWald型の正規近似区間を用いてください。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 標本サイズ (n) | 400 |
| 満足と回答した人数 (x) | 256 |
| 標本比率 (p̂) | 256 / 400 = 0.64 (64.0%) |
| 臨界値 (z) | 1.96 |
解答・途中計算
標本比率 p̂ の計算
標本中の回答割合から標本比率 0.64 を求めます。 満足256名、不満足144名がともに十分多く、比率も0や1に近くないため、指定された正規近似を使います。
標準誤差 SE の推定
母比率 p が未知のため、標本比率 p̂ を代入して標準誤差を推定します。
誤差の許容限界と信頼区間の算出
標本比率を中心に 1.96 * SE の幅を加減し、信頼区間を算出します。
区間の意味と適用範囲
同じ抽出と区間計算を繰り返すと、作られる区間の約95%が一定の母比率を含むという手続き上の意味です。実際の被覆率は母比率や標本サイズによって変わり、厳密に95%ではありません。得た1区間に母比率が入る確率を95%とする解釈や、購入者の95%がこの範囲の満足度を持つという解釈はしません。この幅は無回答・選択・質問文による偏りを補正しません。小標本や0・1近くの比率ではWald区間の精度が悪く、Wilson区間などを検討します。
最終結論
母比率の 95%信頼区間は 0.593 〜 0.687 （59.3% 〜 68.7%）である。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：0.616 〜 0.664
理由・解説：臨界値 1.96 を掛け忘れ、標準誤差 SE = 0.024 をそのまま加減してしまう誤り（0.64 ± 0.024）。
典型的な誤り：母比率がこの区間に収まる確率が 95% であるという解釈
理由・解説：頻度論では母比率は未知でも固定した値です。無作為に変わるのは標本から作る区間で、同じ手続きを繰り返したときの被覆割合が約95%になる、という正規近似の解釈です。
参照資料
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本サイトの例題はすべて架空のデータを元に独自に作成されたものです。出題意図や難易度調整の基準については問題作成方針をご確認ください。
問題作成方針を見る制作・検証情報
- 執筆・構成
- kuma / bearworks.uk（問題設計）
- 検算・内容確認
- Gemini（受領原稿の検算・教育内容レビュー）、Codex（修正・独立検算・実装確認）、Luna（品質監査）
- 最終公開確認
- kuma / bearworks.uk（2026-09-04に公開内容を承認）
AIを使用した工程
第2バッチ（問11〜15）は2026-09-04に、GeminiによるPython/uvでの独立検算・教育内容レビュー済みとの説明を添えて原稿を受領しました。Codexが近似値の扱い、前提条件、結論の解釈を修正し、Pythonで独立検算しました。Lunaが内容を監査しました。修正後の原稿をGeminiが再レビューしたという意味ではありません。
人が確認した工程
運営者が題材と実装方針を指定し、修正内容・独立検算・品質点検・Linuxでの配信検証の結果を踏まえて、2026-09-04に公開内容を承認しました。専門家による第三者査読ではありません。
更新・訂正履歴
- 初版第2バッチ5問の受領原稿をCodexが修正・独立検算・実装し、運営者が公開内容を承認しました。
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