標本分布標本比率中心極限定理不偏性標準誤差

標本比率の標本分布と標準誤差の算出

作成者: kuma / bearworks.uk公開日: 2026-09-04内容更新日: 2026-09-04

問題文

ある政策への賛成率を把握するため、有権者から無作為に 1,600 人を抽出して世論調査を実施します。母集団は標本に比べて十分大きく、抽出率が小さいため有限母集団補正を無視し、各回答を独立で同じ確率pのベルヌーイ試行として扱います。全員が回答するとします。母集団における真の賛成率が 50.0%（p = 0.50）であると仮定するとき、標本比率 p̂ の期待値 E(p̂)、および標準誤差 SE(p̂) を求めなさい。

与えられた条件

項目	値
母比率 (p)	0.50
標本サイズ (n)	1,600

解答・途中計算

標本比率の期待値 E(p̂) の導出

Xを賛成人数とすると p̂ = X/n, E(p̂) = E(X)/n = np/n = p = 0.50（50.0%）

標本比率は母比率の不偏推定量であるため、その期待値は母比率そのものと一致します。

標本比率の分散 V(p̂) の計算

V(p̂) = V(X)/n² = np(1-p)/n² = p(1 - p) / n = (0.50 * 0.50) / 1600 = 0.25 / 1600 = 0.00015625

賛成人数Xを二項分布とみなし、比率X/nの分散を求めます。期待値と分散の公式には正規近似は不要です。有限母集団から非復元抽出し、抽出率が大きい場合は別途補正が必要です。

標本比率の標準誤差 SE(p̂) の計算

SE(p̂) = √(p(1 - p) / n) = √0.25 / √1600 = 0.50 / 40 = 0.0125（1.25パーセントポイント）

分散の平方根を取ることで標準誤差を導出します。

最終結論

結論

標本比率の期待値は0.50（50.0%）、標準誤差は0.0125（1.25パーセントポイント）である。標準誤差は標本比率の繰り返し調査でのばらつきを表し、95%信頼区間の半幅そのものではない。標本数を6,400人（4倍）にすると標準誤差は0.00625（半分）になる。

誤答しやすい考え方

典型的な誤り：SE(p̂) = 0.000156

理由・解説：平方根を取るのを忘れ、分散 V(p̂) の値をそのまま標準誤差として答えてしまう誤り。

典型的な誤り：SE(p̂) = 0.025

理由・解説：標本サイズ n = 1600 の平方根 √1600 = 40 を誤って 20 と計算してしまうミス。

参照資料

統計検定2級公式出題範囲

この概念をアプリで練習する

統計検定2級の演習・復習アプリ機能です。実際に手を動かして理解を深めましょう。

分野別ドリルで「標本分布」を演習する

本サイトの例題はすべて架空のデータを元に独自に作成されたものです。出題意図や難易度調整の基準については問題作成方針をご確認ください。

問題作成方針を見る

制作・検証情報

執筆・構成: kuma / bearworks.uk（問題設計）
検算・内容確認: Gemini（原稿の独立計算・教育内容レビュー）、Codex（修正・独立検算・実装確認）、Luna（品質監査）
最終公開確認: kuma / bearworks.uk（2026-09-04に公開内容を承認）

AIを使用した工程

第1バッチ（問6〜10）は2026-09-04に原稿とGeminiによる独立検算・教育内容レビュー結果を受領しました。Codexが誤答説明、前提条件、結論の解釈を修正し、Pythonで独立検算しました。Lunaが内容とリンクを監査しました。修正後の原稿をGeminiが再レビューしたという意味ではありません。

人が確認した工程

運営者が問題設計と実装方針を確認し、検算・品質点検・Linuxでの配信検証の結果を踏まえて、2026-09-04に公開内容を承認しました。専門家による第三者査読ではありません。

コード・データ・検証記録

統計検定2級の公式出題範囲分野の対応を確認する参照資料です。公式問題の転載ではありません。編集・作問方針オリジナル例題の作成・確認・訂正方針です。

更新・訂正履歴

2026-09-04初版第1バッチ5問の原稿とGeminiレビューをもとに、Codexが修正・独立検算・実装を実施し、運営者が公開内容を承認しました。

内容の誤りや再検証のご連絡は、お問い合わせページから受け付けています。

誤りを報告する