独立な確率変数の線形結合における期待値と分散（和と差）
問題文
あるカフェで提供される「コーヒーの抽出量 X（mL）」と「カップの容量 Y（mL）」は互いに独立であり、抽出量 X は期待値 200 mL・標準偏差 6 mL（分散 36）、カップ容量 Y は期待値 250 mL・標準偏差 8 mL（分散 64）であることが分かっています。カップにコーヒーを注いだときの「カップの空き容量」を変量 W = Y - X と定義するとき、空き容量 W の期待値 E(W)、分散 V(W)、および標準偏差 SD(W) を求めなさい。 Wは注ぐ前の容量差を表す数学的な量で、負なら溢れる量に対応します。実際に残る空き容量を0以上に切り詰めた量とは区別します。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 抽出量 X の期待値 E(X) | 200 mL |
| 抽出量 X の標準偏差 SD(X) | 6 mL (分散 36) |
| カップ容量 Y の期待値 E(Y) | 250 mL |
| カップ容量 Y の標準偏差 SD(Y) | 8 mL (分散 64) |
解答・途中計算
空き容量の期待値 E(W) の計算
期待値の線形性により、差の期待値は期待値の差と一致します。 この性質に独立性は必要ありません。有限な期待値・分散がある与件を使います。
空き容量の分散 V(W) の計算
独立なので共分散項が0となり、差でも分散を足します。一般の従属な変数では共分散項を無視できず、常に足し算になるわけではありません。独立性は共分散0の十分条件ですが、その逆は一般には成り立ちません。
空き容量の標準偏差 SD(W) の計算
分散の正の平方根を取ることで標準偏差を算出します。
最終結論
容量差Wの期待値は50 mL、分散は100 mL²、標準偏差は10 mL。これは容量差の平均とばらつきであり、溢れる確率を求めたものではない。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：分散 V(W) = 28 mL²
理由・解説：64 − 36 = 28と分散まで引く誤りです。今回の独立という条件では、係数−1も二乗されるので分散は64 + 36になります。
典型的な誤り：標準偏差 SD(W) = 2 mL
理由・解説：標準偏差を引き算してしまう誤り（8 - 6 = 2）。標準偏差は単純な加減算ができません。
参照資料
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本サイトの例題はすべて架空のデータを元に独自に作成されたものです。出題意図や難易度調整の基準については問題作成方針をご確認ください。
問題作成方針を見る制作・検証情報
- 執筆・構成
- kuma / bearworks.uk（問題設計）
- 検算・内容確認
- Gemini（受領原稿の検算・教育内容レビュー）、Codex（修正・独立検算・実装確認）、Luna（品質監査）
- 最終公開確認
- kuma / bearworks.uk（2026-09-04に公開内容を承認）
AIを使用した工程
第2バッチ（問11〜15）は2026-09-04に、GeminiによるPython/uvでの独立検算・教育内容レビュー済みとの説明を添えて原稿を受領しました。Codexが近似値の扱い、前提条件、結論の解釈を修正し、Pythonで独立検算しました。Lunaが内容を監査しました。修正後の原稿をGeminiが再レビューしたという意味ではありません。
人が確認した工程
運営者が題材と実装方針を指定し、修正内容・独立検算・品質点検・Linuxでの配信検証の結果を踏まえて、2026-09-04に公開内容を承認しました。専門家による第三者査読ではありません。
更新・訂正履歴
- 初版第2バッチ5問の受領原稿をCodexが修正・独立検算・実装し、運営者が公開内容を承認しました。
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