二項分布の正規近似を用いた確率計算
問題文
ある製品製造ラインの不良品発生率は 10.0%（p = 0.10）で安定しており、製品の良否は互いに独立です。このラインから無作為に 400 個の製品を抽出して検査します。不良品の個数を X とするとき、不良品が 50 個以上発生する確率 P(X ≧ 50) を、正規近似を用いて求めなさい（連続修正は行わないものとする）。ただし、z値は小数第2位に丸め、標準正規分布の上側確率は P(Z ≧ 1.67) = 0.0475, P(Z ≧ 1.645) = 0.0500 とします。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 試行回数 (n) | 400 |
| 母不良率 (p) | 0.10 |
| 1 - p | 0.90 |
| 基準不良数 (X) | 50 |
解答・途中計算
正規近似の適用条件確認
np および n(1-p) がともに十分大きいため、二項分布 B(400, 0.10) は正規分布 N(np, np(1-p)) で近似します。npとn(1-p)が5以上という条件は目安であり、尾部まで精度を保証するものではありません。
期待値 μ と標準偏差 σ の計算
二項分布の平均と分散から、近似する正規分布のパラメータを求めます。
標準化と確率の算出
独立な400回の良否判定で不良率pが一定のため二項分布を使い、その平均と分散を持つ正規分布で近似します。zを1.67に丸め、表の上側確率0.0475を読みます。連続修正をする場合は整数50の境界を49.5としますが、本問の指定では行いません。
最終結論
指定の表と丸め方による正規近似では約0.0475（4.75%）である。同じ条件の400個検査を繰り返すと約4.75%で50個以上となる見積もりであり、二項分布の厳密確率ではない。zを丸めない正規近似では約0.0478となる。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：z ≒ 0.28（上側確率 ≒ 0.3897）
理由・解説：標準偏差6の代わりに分散36で割る誤りです。(50-40)/36 ≒ 0.28となり、表の上側確率は約0.3897です。なお、(1-p)の掛け忘れなら10/√40 ≒ 1.58となり、別の誤りです。
典型的な誤り：0.0500
理由・解説：z = 1.645 （上側5%点）と誤認して選択するミス。
参照資料
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本サイトの例題はすべて架空のデータを元に独自に作成されたものです。出題意図や難易度調整の基準については問題作成方針をご確認ください。
問題作成方針を見る制作・検証情報
- 執筆・構成
- kuma / bearworks.uk（問題設計）
- 検算・内容確認
- Gemini（原稿の独立計算・教育内容レビュー）、Codex（修正・独立検算・実装確認）、Luna（品質監査）
- 最終公開確認
- kuma / bearworks.uk（2026-09-04に公開内容を承認）
AIを使用した工程
第1バッチ（問6〜10）は2026-09-04に原稿とGeminiによる独立検算・教育内容レビュー結果を受領しました。Codexが誤答説明、前提条件、結論の解釈を修正し、Pythonで独立検算しました。Lunaが内容とリンクを監査しました。修正後の原稿をGeminiが再レビューしたという意味ではありません。
人が確認した工程
運営者が問題設計と実装方針を確認し、検算・品質点検・Linuxでの配信検証の結果を踏まえて、2026-09-04に公開内容を承認しました。専門家による第三者査読ではありません。
更新・訂正履歴
- 初版第1バッチ5問の原稿とGeminiレビューをもとに、Codexが修正・独立検算・実装を実施し、運営者が公開内容を承認しました。
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