チェビシェフの不等式（未知の分布における確率下限評価）
問題文
あるEC物流センターにおける注文確定から出荷までの処理時間 X（分）について、過去の全ログから平均が μ = 45.0 分、標準偏差が σ = 6.0 分であることが分かっている。ただし、混雑度や品目特性の影響により、処理時間の分布は正規分布に従うとは限らず、分布の具体的な形状は未知である。チェビシェフの不等式を用いて、処理時間 X が 30.0分以上 60.0分以下（すなわち |X - 45.0| ≤ 15.0）に収まる確率の下限を求めなさい。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 母平均 (μ) | 45.0 分 |
| 母標準偏差 (σ) | 6.0 分 |
| 対象区間の下限 | 30.0 分 |
| 対象区間の上限 | 60.0 分 |
| 平均からの最大許容乖離幅 | 15.0 分 |
解答・途中計算
平均からの乖離幅と標準偏差の倍数 k の特定
対象区間 [30.0, 60.0] は平均 45.0 を中心に対称であり、乖離幅は 15.0 です。標準偏差 σ = 6.0 で割ると k = 2.5 となります。
チェビシェフの不等式の適用
チェビシェフの不等式は、平均と分散が存在する任意の確率分布に対して成立します。はみ出す確率の上限 P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k² の余事象 P(|X - μ| < kσ) ≥ 1 - 1/k² に対し、閉区間 |X - μ| ≤ kσ は開区間を含むため、確率下限として 1 - 1/k² がそのまま適用されます。
下限確率の算出
k = 2.5 を代入して計算すると 0.84 となり、少なくとも 84.0% の確率で処理時間は 30.0分〜60.0分の間に収まることが示されます。
正規分布との比較と普遍性の解釈
正規分布を仮定できる場合は約98.8%となりますが、チェビシェフの不等式は左右非対称や多峰性などの極端な分布であっても『どんな分布でも最低84.0%は確保される』という保守的な確率下限（安全限界）を提供します。
最終結論
処理時間が30.0分以上60.0分以下に収まる確率の下限は 0.84（84.0%以上）である。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：0.16（16.0%）
理由・解説：区間の外側にはみ出す確率の上限 P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k² = 1/6.25 = 0.16 を答えてしまう誤りです。設問は『区間内に収まる確率の下限』を求めているため、1 から引く必要があります。
典型的な誤り：0.75（75.0%）
理由・解説：k = 2 と勘違いして 1 - 1/2² = 1 - 0.25 = 0.75 を計算してしまう誤りです。乖離幅 15.0 を標準偏差 6.0 で割ると k = 2.5 となります。
典型的な誤り：約 0.988（98.8%）
理由・解説：母集団が正規分布に従うと勝手に仮定して標準正規分布表から求めてしまう誤りです。問題文で分布の形状は未知と明記されており、正規分布を仮定することはできません。
参照資料
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問題作成方針を見る制作・検証情報
- 執筆・構成
- kuma / bearworks.uk（問題設計・テーマ指定）
- 検算・内容確認
- Antigravity（問題作成・独立検算・実装確認）、Codex（学術レビュー・実装監査）
- 最終公開確認
- kuma / bearworks.uk
AIを使用した工程
第4バッチ（問21〜25）は公式参考書・問題集の未出題重要論点（物価指数、チェビシェフの不等式、幾何分布、過誤と検出力、フィッシャーの3原則）に基づき、Antigravityが問題・与件・解説・誤答分析を独自に設計・作成し、PythonとSciPyで独立検算しました。Codexが統計学・表記・出典の整合性を読み取り専用で監査・レビューし、指摘事項の反映を確認しました。
人が確認した工程
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更新・訂正履歴
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