ピアソンの積率相関係数の算出と外れ値の影響
問題文
あるクラスの生徒10名における「数学の学習時間 X（時間/週）」と「数学の小テスト得点 Y（点）」の関係を調べました。10名のデータから計算したところ、Xの標本分散は 16.0（標本標準偏差 4.0時間）、Yの標本分散は 25.0（標本標準偏差 5.0点）、XとYの標本共分散は 16.0 でした。XとYのピアソンの積率相関係数 r を求めなさい。また、このデータに「学習時間が非常に長いが点数が極端に低い生徒（外れ値）」が1名追加された場合、相関係数 r はどのように変化するか述べなさい。 分散と共分散はすべて同じ分母（n − 1）で計算し、追加点は元の平均より学習時間が長く、得点が低いものとします。追加後の数値や低下幅まで求められるかも説明してください。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| Xの標本標準偏差 s_x | 4.0 時間 |
| Yの標本標準偏差 s_y | 5.0 点 |
| XとYの標本共分散 s_xy | 16.0 時間・点（分散と同じ分母n − 1） |
解答・途中計算
ピアソンの積率相関係数 r の計算
同じ10名の対応する2変量について、分散がともに正なので相関係数を計算できます。分散・共分散の分母をそろえ、共分散を標準偏差の積で標準化します。単位が消え、−1から1の無次元量になります。記述的な相関の計算自体に正規性は必要ありません。
相関の強さの解釈と外れ値の影響
この10名では学習時間が長いほど得点が高い傾向があります。「強い」の目安は分野や目的によって異なり、因果関係の証明ではありません。元の平均より右下にある追加点は共分散の分子を小さくし、各変数の平方偏差和を増やすため、rは0.80より低下します。ただし低下幅や負になるかどうかは、この情報だけでは決まりません。散布図を確認し、外れ値という理由だけで削除せず、入力誤りや背景を調べます。
追加後の数値が決まらない理由
Sは元の10名の平方偏差和・偏差積和、(x₀, y₀)は追加点です。追加後のrはS′xy/√(S′xx S′yy)ですが、元の平均と追加点の具体値がないため計算できません。元のrが正で、今回指定した右下の点を加える条件で低下すると判断しています。すべての外れ値が相関を弱めるわけではありません。
最終結論
相関係数は r = 0.80。この10名には強い正の直線的な関連がある。指定した右下の点を追加するとrは低下するが、追加後の値・低下幅・負になるかは与件だけでは決まらない。相関から因果関係は証明できない。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：r = 0.04
理由・解説：分母を標準偏差の積ではなく分散の積（16 * 25 = 400）で割ってしまう誤り（16 / 400 = 0.04）。相関係数は必ず標準偏差で標準化します。
典型的な誤り：r = 0.80 であることから、学習時間を増やせば必ず点数が上がる因果関係が証明されたとする主張
理由・解説：相関関係は「2変数の直線的な連動性」を示すのみであり、因果関係（原因と結果）そのものを証明するものではありません。
参照資料
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本サイトの例題はすべて架空のデータを元に独自に作成されたものです。出題意図や難易度調整の基準については問題作成方針をご確認ください。
問題作成方針を見る制作・検証情報
- 執筆・構成
- kuma / bearworks.uk（問題設計）
- 検算・内容確認
- Gemini（受領原稿の検算・教育内容レビュー）、Codex（修正・独立検算・実装確認）、Luna（品質監査）
- 最終公開確認
- kuma / bearworks.uk（2026-09-04に公開内容を承認）
AIを使用した工程
第2バッチ（問11〜15）は2026-09-04に、GeminiによるPython/uvでの独立検算・教育内容レビュー済みとの説明を添えて原稿を受領しました。Codexが近似値の扱い、前提条件、結論の解釈を修正し、Pythonで独立検算しました。Lunaが内容を監査しました。修正後の原稿をGeminiが再レビューしたという意味ではありません。
人が確認した工程
運営者が題材と実装方針を指定し、修正内容・独立検算・品質点検・Linuxでの配信検証の結果を踏まえて、2026-09-04に公開内容を承認しました。専門家による第三者査読ではありません。
更新・訂正履歴
- 初版第2バッチ5問の受領原稿をCodexが修正・独立検算・実装し、運営者が公開内容を承認しました。
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