ポアソン分布の期待値・分散と特定事象の生起確率
問題文
あるWebサービスの問い合わせ窓口には、1時間あたり平均して 2.0件（λ = 2.0）の問い合わせがランダムに寄せられます。発生率は一定で、重ならない時間区間の件数は独立、十分短い区間で同時に複数件発生する確率は無視できるものとし、単位時間あたりの発生件数 X はポアソン分布 Po(2.0) に従うものとします。1時間あたりの問い合わせ件数 X の期待値 E(X) と分散 V(X) を求めなさい。また、ある1時間に寄せられる問い合わせ件数が「1件以下（0件または1件）」である確率 P(X ≦ 1) を求めなさい（計算では e^-2 = 0.1353 を近似値として用い、小数第4位まで求めよ）。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 1時間の平均件数 λ | 2.0 件（発生率は2.0件/時間） |
| ネイピア数の指数 e^-2 | 約 0.1353 |
解答・途中計算
期待値 E(X) と分散 V(X) の導出
一定率・独立な発生の回数を扱い、設問でポアソン分布を仮定しているため、その平均と分散がともにλになる性質を使います。今回は1時間なのでλ = 2.0です。平均は2.0件、分散は2.0件²で、数値は等しくても単位は異なります。実データで発生率が変動したり問い合わせが集中したりする場合、このモデルをそのまま適用できるとは限りません。
X = 0 および X = 1 の確率の計算
ポアソン確率関数 P(X = k) = (λ^k * e^-λ) / k! に k = 0, 1 を代入します。
累積確率 P(X ≦ 1) の算出
0件と1件は同時に起きないので確率を足します。指定された近似値での解答は0.4059です。一方、e^-2を丸めずに計算すると3e^-2 = 0.4060058497…となり、小数第4位に丸めると0.4060です。0.4059を丸め直して0.4060とするのではなく、途中で使う精度の違いです。
最終結論
期待値は2.0件、分散は2.0件²。設問指定のe^-2 = 0.1353を使うと、1件以下の確率は0.4059（40.59%、約40.6%）。精密計算を小数第4位に丸めた0.4060とは区別する。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：分散 V(X) = 4.0
理由・解説：λを標準偏差と誤認して二乗する誤りです。ポアソン分布では分散の数値がλ = 2.0となり、標準偏差は√2です。
典型的な誤り：P(X ≦ 1) = 0.2706
理由・解説：X = 0（1件も問い合わせが来ない確率）の加算を忘れてしまうミス。
参照資料
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本サイトの例題はすべて架空のデータを元に独自に作成されたものです。出題意図や難易度調整の基準については問題作成方針をご確認ください。
問題作成方針を見る制作・検証情報
- 執筆・構成
- kuma / bearworks.uk（問題設計）
- 検算・内容確認
- Gemini（受領原稿の検算・教育内容レビュー）、Codex（修正・独立検算・実装確認）、Luna（品質監査）
- 最終公開確認
- kuma / bearworks.uk（2026-09-04に公開内容を承認）
AIを使用した工程
第2バッチ（問11〜15）は2026-09-04に、GeminiによるPython/uvでの独立検算・教育内容レビュー済みとの説明を添えて原稿を受領しました。Codexが近似値の扱い、前提条件、結論の解釈を修正し、Pythonで独立検算しました。Lunaが内容を監査しました。修正後の原稿をGeminiが再レビューしたという意味ではありません。
人が確認した工程
運営者が題材と実装方針を指定し、修正内容・独立検算・品質点検・Linuxでの配信検証の結果を踏まえて、2026-09-04に公開内容を承認しました。専門家による第三者査読ではありません。
更新・訂正履歴
- 初版第2バッチ5問の受領原稿をCodexが修正・独立検算・実装し、運営者が公開内容を承認しました。
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