手計算データを用いた単回帰方程式と決定係数の算出
問題文
ある変数 X と Y について、5組のデータ点 (1, 40), (2, 50), (3, 70), (4, 70), (5, 90) が得られました。このデータから X を説明変数、Y を被説明変数とする単回帰モデル Y = βX + α + e を最小二乗法で推定し、傾き β、切片 α、および X = 4.5 のときの予測値と残差（実測値 Y = 78 とする）、決定係数（R²）をそれぞれ求めなさい。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| データセット (X, Y) | (1, 40), (2, 50), (3, 70), (4, 70), (5, 90) |
| 評価する点 | X = 4.5 での実測値 Y = 78 |
解答・途中計算
平均値の算出
説明変数と被説明変数のそれぞれの平均値を求めます。
偏差平方和と共分散の分子の計算
傾きを求めるための各偏差の計算を行います。
傾き (β) と 切片 (α) の計算
これにより単回帰式は Y = 12X + 28 と推定されます。
予測値と残差の計算 (X = 4.5)
X = 4.5 における回帰式の予測値は 82 であり、実測値 78 との残差は -4 となります。
決定係数 (R²) の計算
モデルの適合度を示す決定係数は 18/19 (約0.9474) となります。
最終結論
回帰式は Y = 12X + 28、X = 4.5 の予測値は 82（残差は -4）、決定係数 R² は 18 / 19 （約 0.9474）である。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：決定係数 R² ＝ 0.9474 をもって、XとYの因果関係が証明されたと結論づける
理由・解説：決定係数は手元データの回帰線への適合度を示すものであり、相関関係の強さを表す指標に過ぎません。これだけでXがYを引き起こす因果関係があるとは結論づけられません（疑似相関の可能性など）。
典型的な誤り：残差の計算を「予測値 - 実測値」と取り違えて +4 とする
理由・解説：残差の定義は「実測値 - 予測値 (y - ŷ)」です。符号を逆にすると回帰分析の各種前提条件や分析ステップの理解にズレが生じます。
参照資料
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