時系列データの分析（中心化移動平均によるトレンド平滑化とラグ1の自己相関）
問題文
ある新商品の発売直後6日間の日次販売数量 y_t（t = 1, 2, ..., 6）が記録された。 y = [30, 42, 48, 36, 54, 60]（単位：個） 6日間の標本平均は ȳ = 45.0 個、全偏差平方和は Σ_{t=1}^6 (y_t - ȳ)^2 = 630.0 である。 (1) 奇数項（k=3）の移動平均法を用いて、t=2日目およびt=3日目における3日移動平均値をそれぞれ求めなさい。 (2) この時系列データのラグ1（1期前）の自己相関係数 r_1 を求めなさい。ただし、自己相関係数の算出には全期間の標本平均 ȳ = 45.0 を用いる標準的な定義式 r_1 = Σ_{t=1}^5 (y_t - ȳ)(y_{t+1} - ȳ) / Σ_{t=1}^6 (y_t - ȳ)^2 を使用しなさい。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 日次データ (t=1..6) | 30, 42, 48, 36, 54, 60 |
| 標本平均 (ȳ) | 45.0 個 |
| 全偏差平方和 (Σ(y_t - ȳ)²) | 630.0 |
| 移動平均の項数 | 3日（前後1日を含む中心化移動平均） |
解答・途中計算
3日移動平均値の算出
奇数項の移動平均では、対象日を中心として前後対称に平均をとります。t=2日目の移動平均は (y_1 + y_2 + y_3)/3 = 40.0、t=3日目の移動平均は (y_2 + y_3 + y_4)/3 = 42.0 となります。短期間の不規則変動が平滑化され、緩やかな上昇トレンドが観察されます。
各時点の偏差とラグ1の積和の計算
各時点の平均 ȳ = 45.0 からの偏差を求めます。y_1 - 45 = -15, y_2 - 45 = -3, y_3 - 45 = 3, y_4 - 45 = -9, y_5 - 45 = 9, y_6 - 45 = 15 です。
ラグ1自己共分散分子の合算と自己相関係数 r_1 の算出
ラグ1の隣接積の総和は 63.0 となります。全偏差平方和 630.0 で割ると、自己相関係数は r_1 = 63.0 / 630.0 = 0.100（+0.10）となります。この標本で計算されたラグ1自己相関は+0.10です（なお、6観測の小標本のみから母過程の系列相関の有無を一般化して判断することはできません）。
最終結論
(1) 3日移動平均値は t=2 が 40.0個、t=3 が 42.0個である。(2) ラグ1の自己相関係数は r_1 = 0.100（+0.10）である。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：MA_2 = 40.0, MA_3 = 42.0, r_1 = 0.156
理由・解説：分母の偏差平方和を6項の合計 630.0 ではなく、ラグ1の積和に合わせた5項のみの平方和 405.0（225 + 9 + 9 + 81 + 81 = 405.0）を用いて割ってしまう誤りです（63.0 / 405.0 ≒ 0.156）。標準的な時系列定義では全期間の標本分散を分母に用います。
典型的な誤り：MA_2 = 36.0 (t=1とt=2の2日平均をとる誤り)
理由・解説：3日移動平均の定義を誤り、過去2日間の平均等と取り違えてしまう誤りです。
典型的な誤り：r_1 = -0.100 (符号の計算ミス)
理由・解説：積和の計算過程で負の積の符号を取り違えて合算してしまう誤りです。
参照資料
この概念をアプリで練習する
統計検定2級の演習・復習アプリ機能です。実際に手を動かして理解を深めましょう。
本サイトの例題はすべて架空のデータを元に独自に作成されたものです。出題意図や難易度調整の基準については問題作成方針をご確認ください。
問題作成方針を見る制作・検証情報
- 執筆・構成
- kuma / bearworks.uk（問題設計・テーマ指定）
- 検算・内容確認
- Antigravity（問題作成・独立検算・実装確認）、Codex（学術レビュー・実装監査【合格】）
- 最終公開確認
- kuma / bearworks.uk
AIを使用した工程
第5バッチ（問26〜30）は公式参考書・問題集の未出題重要論点（2つの母比率の差の検定、指数分布、時系列分析、二元配置分散分析、重回帰診断とダミー変数）に基づき、Antigravityが問題・与件・解説・誤答分析を独自に設計・作成し、PythonとSciPyで独立検算しました。Codexが統計学・表記・出典の整合性を読み取り専用で監査・レビューし、指摘事項の反映を確認しました。
人が確認した工程
運営者が公式テキスト・問題集に基づく未出題5問の構成案を承認し、独立検算・Codexレビュー【合格】・Linux CI合格を踏まえて、最終公開内容を承認しました。専門家による第三者査読ではありません。
更新・訂正履歴
- 初版第5バッチ5問をAntigravityが独自設計・実装・SciPy検算し、Codex監査レビュー【合格】を経て運営者が公開内容を承認しました。
内容の誤りや再検証のご連絡は、お問い合わせページから受け付けています。
誤りを報告する