独立2標本の母平均の差のt検定（等分散仮定・プールされた分散）
問題文
ある工場で製造される部品の引張強度（MPa）について、従来の製造ラインAと新規導入ラインBの母平均に差があるかを検証するため、無作為にサンプルを抽出して引張強度を測定した。両ラインの母集団は正規分布に従い、母分散は等しい（等分散）と仮定できる。測定結果は以下の通りであった。 ・ラインA: 標本サイズ n_A = 10, 標本平均 x̄_A = 85.0 MPa, 標本不偏分散 s_A^2 = 38.0 MPa² ・ラインB: 標本サイズ n_B = 15, 標本平均 x̄_B = 80.0 MPa, 標本不偏分散 s_B^2 = 15.0 MPa² このとき、プールされた分散 s_p^2 および母平均の差に対する検定統計量 t の値を求め、有意水準5%で両側検定を行いなさい。ただし、自由度23のt分布における上側2.5%臨界値は t_0.025(23) = 2.069 とします。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| ラインA 標本サイズ (n_A) | 10 |
| ラインA 標本平均 (x̄_A) | 85.0 MPa |
| ラインA 不偏分散 (s_A^2) | 38.0 MPa² |
| ラインB 標本サイズ (n_B) | 15 |
| ラインB 標本平均 (x̄_B) | 80.0 MPa |
| ラインB 不偏分散 (s_B^2) | 15.0 MPa² |
| 自由度23のt分布上側2.5%臨界値 | 2.069 |
解答・途中計算
自由度の算出
2群それぞれの標本平均を推定しているため、全体の自由度は各群の自由度 (n_A - 1) と (n_B - 1) の和となり、23となります。
プールされた分散（合併不偏分散）の計算
各群の不偏分散を自由度で重み付けした加重平均により、共通の母分散の推定値（プールされた分散）を求めます。
標本平均の差の標準誤差（SE）の計算
差の分散 V(x̄_A - x̄_B) = σ^2/n_A + σ^2/n_B にプールされた分散を代入して平方根を取ります。
検定統計量 t の算出と統計的判断
帰無仮説 H_0: μ_A = μ_B のもとでの検定統計量は t = 2.50 となります。両側検定では |t| を臨界値 2.069 と比較し、2.50 > 2.069 なので有意水準5%で帰無仮説を棄却します（両側p値は約0.0200）。これは、正規性・独立性・等分散性という設問の仮定のもとで母平均に差があることを示す統計的証拠です。
最終結論
プールされた分散は s_p^2 = 24.00 MPa²、検定統計量は t = 2.50（自由度23、両側p ≒ 0.0200）である。|t| が臨界値 2.069 を上回るため、設問の仮定のもとで帰無仮説を有意水準5%で棄却し、両ラインの母平均に差があることを示す証拠が得られる。標本平均の差はラインAが5.0 MPa高い。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：s_p^2 = 26.50, t = 2.38
理由・解説：各群の不偏分散の単純算術平均 (38.0 + 15.0)/2 = 26.50 を使ってしまう誤りです。標本サイズが異なる場合、自由度による加重平均を行う必要があります。
典型的な誤り：自由度を 24（n_A + n_B - 1）として臨界値を参照する誤り
理由・解説：1標本の自由度 n-1 と混同した誤りです。独立2標本検定では2つの平均パラメータを標本から推定しているため、自由度は n_A + n_B - 2 となります。
典型的な誤り：母分散が等しくない場合でも常にこの検定を用いてよいという誤認
理由・解説：等分散性の仮定が成り立たない場合はウェルチ（Welch）のt検定を用いる必要があります。
参照資料
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問題作成方針を見る制作・検証情報
- 執筆・構成
- kuma / bearworks.uk（問題設計）
- 検算・内容確認
- Codex（原稿修正・独立検算・実装確認）、Luna（既存規約監査）
- 最終公開確認
- kuma / bearworks.uk
AIを使用した工程
第3バッチ（問16〜20）は2026-09-05に実装用原稿を受領しました。Codexが数式、前提条件、結論、誤答説明を点検・修正し、PythonとSciPyで独立検算しました。Lunaが既存問題・制作情報・ページ検証との整合性を読み取り専用で監査しました。
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