カイ二乗検定適合度検定期待度数自由度カテゴリカルデータ

カイ二乗適合度検定（メンデル遺伝比率の適合性）

作成者: kuma / bearworks.uk公開日: 2026-09-05内容更新日: 2026-09-05

問題文

あるエンドウ豆の交配実験において、2対の対立遺伝子（種子の形：丸・しわ、子葉の色：黄・緑）の表現型の分離比がメンデルの独立の法則に従い理論上「丸・黄 : 丸・緑 : しわ・黄 : しわ・緑 = 9 : 3 : 3 : 1」になると予測された。実際に交配を行い得られた160粒の種子を分類したところ、観測度数は以下の表の通りであった。各種子の表現型は同じ確率モデルから独立に観測されたものとする。観測された比率が理論比率 9:3:3:1 に適合しているかを検定するため、カイ二乗検定統計量 χ² の値を求め、有意水準5%で検定を行いなさい。ただし、自由度3のカイ二乗分布における上側5%臨界値は χ²_0.05(3) = 7.815 とします。

与えられた条件

項目	値
総観察数 (N)	160
理論比率	9 : 3 : 3 : 1 (合計 16)
カテゴリ数 (k)	4
自由度3のカイ二乗分布上側5%臨界値	7.815

エンドウ豆の表現型の観測度数
表現型	理論比率	観測度数 (O_i)
丸・黄	9	100
丸・緑	3	25
しわ・黄	3	30
しわ・緑	1	5
合計	16	160

解答・途中計算

各表現型の期待度数（E_i）の算出

丸・黄: 160 * (9/16) = 90, 丸・緑: 160 * (3/16) = 30, しわ・黄: 160 * (3/16) = 30, しわ・緑: 160 * (1/16) = 10

理論比率に基づいて全体の160粒を按分します。最小期待度数は10で、すべて5以上という通常の目安を満たしているため、カイ二乗近似を用います。

各カテゴリのカイ二乗項 (O_i - E_i)² / E_i の計算

丸・黄: (100 - 90)² / 90 = 100 / 90 = 10/9 ≒ 1.111 丸・緑: (25 - 30)² / 30 = 25 / 30 = 5/6 ≒ 0.833 しわ・黄: (30 - 30)² / 30 = 0 / 30 = 0.000 しわ・緑: (5 - 10)² / 10 = 25 / 10 = 5/2 = 2.500

各カテゴリについて観測値と期待値の差（残差）を2乗し、期待度数で割ります。

検定統計量 χ² の合算と自由度の決定

χ² = 10/9 + 5/6 + 0 + 5/2 = 40/9 ≒ 4.444, ν = k - 1 = 4 - 1 = 3

全項を合計すると χ² = 40/9 ≒ 4.44 となります。カテゴリ数が k = 4 で総和が固定されているため、自由度は k - 1 = 3 となります。

仮説検定の判断

χ² = 4.44 < 7.815（帰無仮説を棄却しない）

算出された検定統計量 4.44 は臨界値 7.815 を下回り、p値は約0.217です。帰無仮説を棄却せず、この標本からは分離比が 9:3:3:1 と異なるとの統計的証拠は得られません。理論比が真であると証明した結果ではありません。

カイ二乗適合度検定の計算表
表現型	観測度数 O_i	期待度数 E_i	偏差 O_i - E_i	(O_i - E_i)² / E_i
丸・黄	100	90	+10	1.111
丸・緑	25	30	-5	0.833
しわ・黄	30	30	0	0.000
しわ・緑	5	10	-5	2.500
合計	160	160	0	4.444

最終結論

結論

検定統計量は χ² = 40/9 ≒ 4.44（自由度3、p ≒ 0.217）である。臨界値 7.815 を下回るため帰無仮説を棄却せず、この標本からは観測比率が理論比率 9:3:3:1 と異なるとの統計的証拠は得られない。理論比が真であると証明した結果ではない。

誤答しやすい考え方

典型的な誤り：χ² = 7.00（分母を観測度数 O_i にして計算した場合）

理由・解説：各項の分母を期待度数 E_i ではなく観測度数 O_i にしてしまう誤りです。カイ二乗統計量の分母は必ず理論期待値 E_i です。

典型的な誤り：自由度を 159 （N - 1）として検定する誤り

理由・解説：サンプルサイズ N から 1 を引いてしまう誤りです。適合度検定の自由度はサンプルサイズではなく、カテゴリ数から 1 を引いた k - 1 となります。

典型的な誤り：期待度数が 5 未満のカテゴリが存在してもそのまま検定を適用できるという誤解

理由・解説：期待度数が小さいとカイ二乗近似の精度が悪化します。カテゴリの統合は科学的に妥当な場合に限り、適合度検定では正確な多項検定やモンテカルロ法なども検討します。

参照資料

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制作・検証情報

執筆・構成: kuma / bearworks.uk（問題設計）
検算・内容確認: Codex（原稿修正・独立検算・実装確認）、Luna（既存規約監査）
最終公開確認: kuma / bearworks.uk

AIを使用した工程

第3バッチ（問16〜20）は2026-09-05に実装用原稿を受領しました。Codexが数式、前提条件、結論、誤答説明を点検・修正し、PythonとSciPyで独立検算しました。Lunaが既存問題・制作情報・ページ検証との整合性を読み取り専用で監査しました。

人が確認した工程

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コード・データ・検証記録

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