2×2分割表を用いた独立性のカイ二乗検定
問題文
学習スタイルAとスタイルBの効果の関連性を調べるため、受講生100人を対象に調査を行いました。スタイルAを受講した50人のうち合格者は36人、不合格者は14人でした。スタイルBを受講した50人のうち合格者は24人、不合格者は26人でした。学習スタイルと合否は独立であると言えるか、有意水準5%で独立性の検定を行いなさい。ただし、自由度1のカイ二乗分布における5%臨界値は 3.841 とします。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| スタイルA (合計50人) | 合格 36人 / 不合格 14人 |
| スタイルB (合計50人) | 合格 24人 / 不合格 26人 |
| 全体 (合計100人) | 合格 60人 / 不合格 40人 |
| 自由度1の5%臨界値 | 3.841 |
解答・途中計算
期待度数の計算
各セルにおける、独立と仮定した場合の理論上の人数（期待度数）を求めます。
カイ二乗統計量 (χ²) の計算
観測度数と期待度数のズレの大きさを表す統計量を計算し、χ² ＝ 6.00 を得ます。
検定の判定
算出した統計量が臨界値を上回っているため、「独立である」とする帰無仮説を棄却します。すなわち、「学習スタイルと合否には統計的に有意な関連がある」と判断します。
最終結論
期待度数は 30人, 20人, 30人, 20人 であり、検定統計量 χ² = 6.00 は臨界値 3.841 より大きいため、有意水準5%で独立仮説は棄却され、「学習スタイルと合否の間には有意な関連がある」と判断される。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：検定の自由度を2×2分割表であるため 2 と誤認する
理由・解説：r×c分割表の独立性検定の自由度は (r-1)*(c-1) です。2×2分割表の場合、(2-1)*(2-1) = 1 となります。カテゴリ数そのものを自由度と混同しないよう注意が必要です。
典型的な誤り：この結果をもって、学習スタイルAが合格率を高めた直接の原因（因果）であると断定する
理由・解説：独立性の検定でわかるのは「二つの属性の間に関連（相関）があるかどうか」のみです。ランダム化比較試験などで厳密に制御されていない限り、背景の受講生モチベーション等の交絡因子が存在する可能性があり、この結果だけで直接の因果効果を断定することはできません。
参照資料
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