一元配置分散分析表の算出と母平均の差のF検定
問題文
3種類（A社製、B社製、C社製）の肥料が作物の収穫量に与える影響を比較するため、同一条件の畑で各肥料をそれぞれ5区画ずつ（各群 5区画、全3群、総区画数 N = 15）に施肥して収穫量を測定しました。得られたデータから変動（平方和）を計算したところ、群間平方和は SS_B = 84.0、群内平方和（残差平方和）は SS_W = 72.0 でした。群間および群内の自由度を求め、分散分析表を完成させて検定統計量 F値を算出しなさい。また、有意水準 5% で3つの肥料による平均収穫量に有意な差があるか検定しなさい。ただし、自由度 (2, 12) のF分布の上側5%点は F(2, 12) = 3.89 とします。 肥料は15区画に無作為に割り付け、区画間の誤差は独立、各群の誤差は平均0の正規分布に従い、3群で分散が等しいと仮定します。同一条件の畑という説明だけでこれらの条件が保証されるわけではありません。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 群数 (k) | 3 |
| 各群サンプル数 (n_i) | 5 |
| 総サンプル数 (N) | 15 |
| 群間平方和 (SS_B) | 84.0 |
| 群内平方和 (SS_W) | 72.0 |
| F臨界値 F(2, 12) | 3.89 |
解答・途中計算
比較する仮説と手法
1つの要因（肥料の種類）で分けた3群の母平均を一度に比較するので、一元配置分散分析を使います。独立・正規・等分散という設問の前提のもとでF検定を行います。群平均のばらつきと、群内のばらつきを自由度で調整して比較します。
自由度の算出
群間の自由度は水準数マイナス1、群内の自由度は総サンプル数マイナス水準数となります。
平均平方の計算
群内平均平方MS_Wは共通の誤差分散を推定します。群間平均平方MS_Bは帰無仮説のもとで同じ分散を推定しますが、母平均が異なる場合は群間の効果も含みます。両方を無条件に同じ不偏分散と呼ぶことはできません。
F値の算出と仮説検定
群間平均平方を群内平均平方で割り、検定統計量 F = 7.00 を算出します。
判定
F値が上側5%臨界値を上回るため「3群の母平均はすべて等しい」を棄却します。少なくとも1組の母平均が異なることを示す統計的な証拠です。どの組に差があるか、差の大きさや実用上の重要性は、この検定だけでは分かりません。
| 変動要因 | 平方和 SS | 自由度 df | 平均平方 MS | F値 |
|---|---|---|---|---|
| 群間 | 84.0 | 2 | 42.0 | 7.00 |
| 群内（誤差） | 72.0 | 12 | 6.0 | — |
| 全体 | 156.0 | 14 | — | — |
最終結論
群間自由度2、群内自由度12、F = 7.00 > 3.89（p ≒ 0.0097）なので、有意水準5%で「3群の母平均はすべて等しい」を棄却する。少なくとも1組の母平均が異なることを示す証拠があるが、具体的な組や差の大きさはこの検定だけでは特定できない。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：F = 1.17
理由・解説：平方和を自由度で割らずにそのまま比率を取ってしまう誤り（SS_B / SS_W = 84 / 72 ≒ 1.17）。必ず自由度で割って平均平方を比較します。
典型的な誤り：帰無仮説が棄却されたことから、3つの肥料すべてが互いに異なる収穫量をもたらすと結論づける主張
理由・解説：ANOVA全体の棄却は、すべての母平均が等しいという仮説に反する証拠です。全組の違いを意味せず、特定のペアの検定が有意だと判定したわけでもありません。どの組かを調べるには、多重性を考慮した比較などが必要です。
参照資料
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本サイトの例題はすべて架空のデータを元に独自に作成されたものです。出題意図や難易度調整の基準については問題作成方針をご確認ください。
問題作成方針を見る制作・検証情報
- 執筆・構成
- kuma / bearworks.uk（問題設計）
- 検算・内容確認
- Gemini（受領原稿の検算・教育内容レビュー）、Codex（修正・独立検算・実装確認）、Luna（品質監査）
- 最終公開確認
- kuma / bearworks.uk（2026-09-04に公開内容を承認）
AIを使用した工程
第2バッチ（問11〜15）は2026-09-04に、GeminiによるPython/uvでの独立検算・教育内容レビュー済みとの説明を添えて原稿を受領しました。Codexが近似値の扱い、前提条件、結論の解釈を修正し、Pythonで独立検算しました。Lunaが内容を監査しました。修正後の原稿をGeminiが再レビューしたという意味ではありません。
人が確認した工程
運営者が題材と実装方針を指定し、修正内容・独立検算・品質点検・Linuxでの配信検証の結果を踏まえて、2026-09-04に公開内容を承認しました。専門家による第三者査読ではありません。
更新・訂正履歴
- 初版第2バッチ5問の受領原稿をCodexが修正・独立検算・実装し、運営者が公開内容を承認しました。
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