二元配置分散分析（主効果の検定と交互作用効果の解釈）
問題文
ある教育研修機関で、新しい研修教材（要因A：従来版、新型版の2水準）と研修時間（要因B：短期集中、標準期間の2水準）が研修生の修了テスト得点に与える影響を調べるため、2×2要因の二元配置実験を実施した。各処理水準の組み合わせ（セル）ごとに5名ずつ、合計 N = 20 名の受講生を無作為に割り当てた（反復数 r = 5 の釣合い型実験）。各セルの誤差は互いに独立な正規分布に従い、分散は等しい（等分散性）と仮定する。 得られたテスト結果から分散分析（ANOVA）を行ったところ、以下の平方和（SS）が得られた： ・教材の主効果の平方和: SS_A = 180.0 ・時間の主効果の平方和: SS_B = 300.0 ・交互作用の平方和: SS_AB = 90.0 ・誤差（残差）の平方和: SS_E = 240.0 (1) 交互作用効果 A×B に対する分散分析表の「自由度」「平均平方（MS_AB）」「F値（F_AB）」を求めなさい。 (2) 自由度 (1, 16) のF分布における有意水準5%の臨界値は F_0.05(1, 16) ≒ 4.49 である。交互作用効果の検定結果と、交互作用が有意である場合の教育的・統計的解釈として最も適切なものを述べなさい。
与えられた条件
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 要因A (教材) 水準数 | a = 2 |
| 要因B (時間) 水準数 | b = 2 |
| 各セルの反復数 | r = 5（総標本数 N = 20） |
| 各平方和 (SS) | SS_A = 180.0, SS_B = 300.0, SS_AB = 90.0, SS_E = 240.0 |
| F分布の臨界値 F_0.05(1, 16) | 4.49 |
解答・途中計算
各要因および誤差の自由度（df）の算出
交互作用の自由度は (2 - 1) * (2 - 1) = 1 です。誤差（セル内残差）の自由度は 各セル内の自由度 (r - 1) = 4 を全4セルで足し合わせた 16 となります。
平均平方（MS）と F値 の計算
各平方和を自由度で除して平均平方（MS）を求めます（なお誤差平均平方 MS_E は共通誤差分散の推定量に相当します）。交互作用の検定統計量は F_AB = MS_AB / MS_E = 90.0 / 15.0 = 6.00 です。
仮説検定の判定と交互作用の解釈
検定統計量 6.00 は臨界値 4.49 を上回るため、交互作用は統計的に有意です。交互作用が有意であるということは、「教材Aの効果の現れ方が、研修時間Bの水準によって異なる（例えば、新型教材は標準期間で実施して初めて大きな効果を発揮する等、要因間の相乗効果や条件依存性がある）」ことを意味します。この場合、教材や時間それぞれの主効果のみを単純に個別評価することはできず、水準の組み合わせごとに効果を検討・解釈する必要があります。
| 要因（Source） | 平方和 (SS) | 自由度 (df) | 平均平方 (MS) | F値 | 判定 (α=0.05) |
|---|---|---|---|---|---|
| 要因A（教材） | 180.0 | 1 | 180.0 | 12.00 | 有意 (p < 0.01) |
| 要因B（時間） | 300.0 | 1 | 300.0 | 20.00 | 有意 (p < 0.001) |
| 交互作用 A×B | 90.0 | 1 | 90.0 | 6.00 | 有意 (p = 0.026) |
| 誤差（残差） | 240.0 | 16 | 15.0 | - | - |
| 合計（全体） | 810.0 | 19 | - | - | - |
最終結論
(1) 交互作用 A×B の自由度は 1、平均平方は 90.0、F値は 6.00 である。(2) F値 6.00 > 臨界値 4.49 より有意水準5%で交互作用は有意である。交互作用が有意な場合、教材の効果は研修時間によって異なるため、主効果を単独で評価するのではなく、両要因の組み合わせごとに効果を考察する必要がある。
誤答しやすい考え方
典型的な誤り：自由度 df_AB = 4, F_AB = 1.50
理由・解説：交互作用の自由度を水準数の積 a * b = 4 と誤認し、平均平方を 90 / 4 = 22.5 として F値を計算してしまう典型的な誤りです。自由度は (a - 1)(b - 1) = 1 です。
典型的な誤り：誤差自由度 df_E = 17 (N - a - b = 20 - 2 - 2 = 16 ではなく全自由度から引く計算ミス)
理由・解説：誤差自由度の算出で要因と交互作用を混同する誤りです。df_E = N - a*b = 20 - 4 = 16 です。
典型的な誤り：交互作用が有意であるため、教材の主効果のみを取り出して『どんな時間設定でも新型教材が常に優れている』と一般化して結論づける
理由・解説：交互作用が有意な場合の解釈として重大な誤りです。交互作用がある場合、一方の要因の効果は他方の要因の水準に依存するため、主効果を無条件に一般化することはできません。
参照資料
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本サイトの例題はすべて架空のデータを元に独自に作成されたものです。出題意図や難易度調整の基準については問題作成方針をご確認ください。
問題作成方針を見る制作・検証情報
- 執筆・構成
- kuma / bearworks.uk（問題設計・テーマ指定）
- 検算・内容確認
- Antigravity（問題作成・独立検算・実装確認）、Codex（学術レビュー・実装監査【合格】）
- 最終公開確認
- kuma / bearworks.uk
AIを使用した工程
第5バッチ（問26〜30）は公式参考書・問題集の未出題重要論点（2つの母比率の差の検定、指数分布、時系列分析、二元配置分散分析、重回帰診断とダミー変数）に基づき、Antigravityが問題・与件・解説・誤答分析を独自に設計・作成し、PythonとSciPyで独立検算しました。Codexが統計学・表記・出典の整合性を読み取り専用で監査・レビューし、指摘事項の反映を確認しました。
人が確認した工程
運営者が公式テキスト・問題集に基づく未出題5問の構成案を承認し、独立検算・Codexレビュー【合格】・Linux CI合格を踏まえて、最終公開内容を承認しました。専門家による第三者査読ではありません。
更新・訂正履歴
- 初版第5バッチ5問をAntigravityが独自設計・実装・SciPy検算し、Codex監査レビュー【合格】を経て運営者が公開内容を承認しました。
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